英語で「頑張ります」
①I'll do my best.
３つの中で一番使われている表現ですね。
Google2,900万ページ
しかも、そのうち2,200万ページがI'll do my best to～「～するのに頑張ります」の形で使われています。
ちなみに、～するのに・するためにはto+動詞原型で、to～ingは文法的に間違いです。
例）
○I'll do my best to pass the examination（その試験に受かるよう頑張ります）
×I'll do my best to passing the examination.
②I'll give it my best.
Google180万ページ
私の使っている英語例文集の中にあるいくつかの表現を見ると、itに当たる部分が明確になっている場合に使われていますね。
例）
Ａ：Remember that the president himself is keeping a close eye on this project.
Ｂ：I understand. I'll give it my best effort.
「この企画は社長も注目していることを念頭に置いておいてくれ」「わかりました。できるだけ力を尽くします」（E-DIC1より）
この文のitはthis projectのことです。
I'll give it my best to～(動詞原型)の表現はネット上では見受けられますが「～」に当たる部分が新情報である文は限られますね。
やはり、前の文でitが示す単語が表れているケースの方が自然に思えます。
ただ文法的に間違いとは言えないようです。
③I'll give it my all.
60万ページ
利用数が一番少ないですね。
意味は「私のすべてをそれに捧げます」といった感じですね。
同様のQ&Aを英語サイトでネイティブを読んでみましたが、ある人は
"I'll give it my best try/shot" or even more simply "I'll give it my best" or "I'll do my best."
を使うけれど、中でも利用頻度はI'll do my bestが一番だと言っています。
